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设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数
设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数
admin
2022-08-02
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问题
设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则( )。A. λ=1/2,μ=1/2 B. λ=-1/2,μ=-1/2 C. λ=2/3,μ=1/3 D. λ=2/3,μ=2/3
选项
A. λ=1/2,μ=1/2
B. λ=-1/2,μ=-1/2
C. λ=2/3,μ=1/3
D. λ=2/3,μ=2/3
答案
A
解析
因λy1-μy2是y′+p(x)y=0的解,故(λy1-μy2)′+p(x)(λy1-μy2)=0。所以λ(y1′+p(x)y1)′-μ(y2′+p(x)y2)=0。而由y1′+p(x)y1=q(x),y2′+p(x)y2=q(x),所以有(λ-μ)q(x)=0。
又因λy1+μy2是非齐次y′+p(x)y=q(x)的解,故(λy1+μy2)′+p(x)(λy1+μy2)=q(x)。所以(λ+μ)q(x)=q(x)。故λ=μ=1/2。
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