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已知矩阵,且A-E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时,求出正交矩阵P为( ),
已知矩阵,且A-E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时,求出正交矩阵P为( ),
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2022-08-02
33
问题
已知矩阵
,且A-E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时,求出正交矩阵P为( ),使PTAP为对角矩阵。
选项
答案
D
解析
因为A-E为降秩矩阵,所以行列式|A-E|=0,即
解得a=1或4。设矩阵A的特征值为λ1,λ2,λ3,因A的特征值之和等于A的迹,则有λ1+λ2+λ3=3a-3,可见当a=1时,λ1+λ2+λ3最小,所以
。
所以矩阵A的特征值为λ1=-2,λ2=λ3=1。
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