2. 从业资格
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设f（x）在[0，2a]上连续，且f（0）=f（2a），证明：在[0，a]上至少

最全题库2022-08-02  10
问题 设f（x）在[0，2a]上连续，且f（0）=f（2a），证明：在[0，a]上至少存在一个ξ，使得f（ξ）=f（ξ+a）。
选项
答案
解析 证明：令F（x）=f（z+a）-f（x），因为f（x）在[0，2a]上连续，则F（x）在[0，a]上连续，又f（0）=f（2a），故F（0）=f（a）-f（0），F（n）=f（2a）-f（a）=f（0）-f（a），当f（a）-f（0）=0时，可取ξ为0或a，有f（ξ）=f（ξ+a）。当f（a）-f（0）≠0时，F（0）·F（a）=-[f（a）-f（0）]2＜0，由零点定理，可知存在一个ξ∈（0，a），使得F（ξ）=0，即f（ξ）=f（ξ+a）。
综上，在[0，a]上至少存在一个ξ，使得f（ξ）=f（ξ+a）。
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