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设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为P{Y
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2022-08-02
110
问题
设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=1/2记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数,则函数FZ(z)的间断点个数为( )。A.0B.1C.2D.3
选项
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
B
解析
FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{XY≤z,Y=0}+P{XY≤z,Y=1}=P{XY≤z|Y=0}P{Y=0}+P{XY≤z|Y=1}P{Y=1}当z<0时,P{XY≤z|Y=0}=P{X·0≤z}=P{?}=0,FZ(z)=P{X≤z|Y=1}·(1/2)=P{X≤z}/2=Φ(z)/2;当z≥0时,P{XY≤z|Y=0}=P{X·0≤z}=P(Ω)=1,FZ(z)=1×1/2+P{X≤z}·1/2=[1+Φ(z)]/2。即
故FZ(z)只有一个间断点z=0。
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