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  3. 已知矩阵，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（　　），

已知矩阵，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（　　），

最全题库2022-08-02  92
问题 已知矩阵，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（　　），使PTAP为对角矩阵。
选项
答案 D
解析 因为A－E为降秩矩阵，所以行列式|A－E|＝0，即解得a＝1或4。设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3，因A的特征值之和等于A的迹，则有λ1＋λ2＋λ3＝3a－3，可见当a＝1时，λ1＋λ2＋λ3最小，所以。所以矩阵A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1。
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